Zenón de Elea

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Hace ~2,400 años el filósofo griego Zenón de Elea (Italia meridional, 495-435 a. de C.) precipitó una crisis en la Matemática antigua, mediante el establecimiento de algunas paradojas ingeniosas.

Una de las paradojas de Zenón, llamada frecuentemente la paradoja del corredor se puede exponer de la manera siguiente: Un corredor no puede alcanzar nunca la meta porque siempre ha de recorrer la mitad de una distancia antes de recorrer la distancia total. Es decir, cuando haya recorrido la primera mitad, tendrá que correr la otra mitad. Cuando haya recorrido la mitad de ésta, le quedará todavía la cuarta parte, cuando haya recorrido la mitad de esta cuarta parte, le quedará la octava parte y así sucesiva e indefinidamente.

Un corredor no puede alcanzar nunca la meta porque siempre ha de recorrer la mitad de una distancia antes de recorrer la distancia total. Es decir, cuando haya recorrido la primera mitad, tendrá que correr la otra mitad. Cuando haya recorrido la mitad de ésta, le quedará todavía la cuarta parte, cuando haya recorrido la mitad de esta cuarta parte, le quedará la octava parte y así sucesiva e indefinidamente.

Al respecto sugerimos ver http://www.youtube.com/watch?v=9HebT7PadXM.

 

El resultado inmediato de esta aporía, según Zenón, es que el movimiento es solamente ilusorio.

¡Cuánto atrevimiento! ¡Nuestra percepción del mundo retrocede sacudida!

Calma, tenemos evidencia experimental de que el corredor si llega a la meta. Evidentemente hay un error en el razonamiento de Zenón, pero ¿dónde está el error? … bueno, debieron pasar dos mil años de la muerte de Zenón para encontrarlo. El error está en suponer que se necesita un tiempo infinito para recorrer una distancia finita, dividida en un número infinito de trozos. Decir que el corredor nunca puede alcanzar la meta equivale a decir que nunca llega a ella en un tiempo finito; o, dicho de otro modo, que la suma de un número infinito de intervalos positivos de tiempo no puede ser finita. En esencia Zenón afirmó que un número ilimitado de cantidades positivas no puede tener una suma finita. Tal afirmación fue contradicha 2,000 años más tarde con la creación de la teoría de las series infinitas. En los siglos XVII y XVIII algunos matemáticos empezaron a pensar que era posible extender la idea de suma ordinaria de conjuntos finitos de números a conjuntos infinitos, de manera que, como se ilustra en la Figura 1, en algunos casos la "suma" de un conjunto de infinitos números sea finita. ¡El movimiento no es ilusión!


Figura 1. Ilustración de una serie geométrica. El triángulo amarillo es un triángulo equilátero de lado unitario. Observar que el número de triángulos rosados que podemos formar es infinito, y sin embargo el área que ellos ocupan es siempre inferior a la del triángulo amarillo. Así que, contrario a lo afirmado por Zenón, la suma de una infinidad de números positivos si puede ser finita.


Escrito por Armando Domínguez Ortiz

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