Geometría Fractal

"Toda belleza es relativa… No hemos de… creer que las orillas del mar sean realmente deformes por no tener la forma de un baluarte regular; que las montañas hayan perdido la forma porque no son exactamente como pirámides o conos; ni que las estrellas estén situadas desmañadamente por no estar a una distancia uniforme. Estas irregularidades no son naturales, sino sólo por lo que respecta a nuestro gusto; ni resultan incómodas para los verdaderos usos de la vida y de los designios de la vida del hombre en la tierra." - Richard Bentley

 

La opinión de Richard Bentley, pensador inglés del siglo XVII, muestra que la inquietud por describir las formas observadas en la naturaleza viene de antiguo. También nos muestra que la herramienta matemática para tal descripción no existía en los tiempos de Bentley. Basta mirar alrededor, en nuestro entorno el mundo se organiza, toma formas. Cada objeto acomoda sus moléculas de la manera que resulte más provechosa para perdurar bajo las condiciones establecidas por el ambiente. Si bien algunas cosas parecen esferas, por ejemplo una naranja y otras como los pepinos nos recuerdan cilindros; muchas formas naturales presentan un grado superior de complejidad, e.g., los rayos no son rectilíneos, ni las montañas son cónicas, ni las hormigas exploran el terreno avanzando en línea recta. La naturaleza presenta formas y estructuras que hasta el último cuarto del siglo pasado parecían escaparse de la comprensión humana. El profesor Benoît Mandelbrot (c.f. Figura 1) se interesó por cuestiones que nunca antes habían preocupado a los científicos, como los patrones por los que se rigen la rugosidad de una superficie o la repartición espacial de los poros y las fracturas que aparecen en una roca. En 1977, Benoît Mandelbrot publicó su libro "The Fractal Geometry of Nature", en donde desarrolla una geometría que denominó fractal. El término fractal, se deriva del Latín fractus que significa roto o quebrado. Mandelbrot sostuvo que los fractales, en muchos aspectos, son más naturales, y por tanto mejor comprendidos intuitivamente por las personas, que los objetos basados en la geometría Euclídea, que han sido suavizados artificialmente.

mandelbrot
Figura 1. Profesor Benoît Mandelbrot (1924-2010). Los estudios de Mandelbrot sobre los objetos fractales – como ha ocurrido con la mayoría de las investigaciones desarrolladas por este polifacético estudioso – han dado lugar a una nueva disciplina científica: la geometría fractal de la naturaleza, que protagoniza hoy múltiples investigaciones en todos los campos de la ciencia.

Los objetos fractales son figuras geométricas, al igual que lo son los rectángulos, los círculos y los cuadrados, pero los fractales tienen algunas propiedades que los otros no poseen. Un fractal tiene las siguientes características:

(i) Los objetos fractales tienen una textura muy fina, i.e. poseen gran cantidad de detalle aún a escalas arbitrariamente pequeñas. Notar que triángulos, círculos y cuadrados no presentan esta propiedad;

(ii) Un objeto fractal es demasiado irregular para ser adecuadamente descrito mediante la geometría Euclídea;

(iii) Los objetos fractales se caracterizan por no presentar simetría ante traslación. Una simetría es la preservación de la forma o la configuración a través de un punto, una línea o un plano. También podemos hablar de preservación de ángulos y longitudes. Se podría decir que una simetría es la habilidad para tomar una forma y hacerla coincidir exactamente con otra. Las operaciones que son usadas para generar tal coincidencia, son llamadas transformaciones e incluyen dilataciones (o magnificación), traslaciones, reflexiones y rotaciones. Cada una de ellas genera un diferente tipo de simetría. Una de las más simples es la simetría traslacional que resulta de la aplicación de la transformación denominada traslación. Una forma es poseedora de tal simetría si exhibe desplazamientos en alguna dirección que le devuelve (aproximadamente) la forma de su configuración original. Un muro de ladrillos es un ejemplo familiar que posee tal simetría. Los objetos fractales se caracterizan por no presentar simetría de traslación, en cambio presentan auto-semejanza;

(iv) Los objetos fractales son auto-semejantes. Si magnificamos un objeto fractal a través de varias escalas, se observa que la forma o la estructura es invariante. Así un fractal es un objeto presentando mucho detalle que puede ser dividido en partes, cada una de las cuales es aproximadamente una copia reducida de la estructura global. El todo está contenido en cada una de las partes. Esta propiedad conocida como auto-semejanza es matemáticamente caracterizada por la dimensión fractal , viz. la masa de objeto , crecerá como ,-., donde es la longitud de la escala utilizada y es siempre menor que la dimensión Euclídea en donde se encuentra inmerso el objeto.

(v) Un objeto fractal tiene una definición simple y recursiva.

 

A continuación ilustremos las ideas arriba expresadas. En la Figura 2 se representa la isla de Koch, creada en 1904 por el matemático sueco Niels Fabian Helge von Koch. Partamos de un triángulo equilátero de lado uno. Dividimos cada lado en tres partes iguales de longitud 1/3. Sustituimos el segmento central por dos segmentos de tamaño idéntico formando un diente como se muestra en la Figura 2. Todo lo anterior corresponde a la primera iteración. Ahora tenemos una curva poligonal de longitud 3·4··1/3=4. Repetimos la operación (segunda iteración) con cada uno de los cuatro nuevos segmentos de cada uno de los "lados". Obtendremos así la curva de longitud 3·42·1/32=16/3. La iteración ad infinitum de este procedimiento nos proporciona la isla de Koch o copo de nieve de Koch. Notar que la isla se caracteriza por tener un área finita, pero su perímetro es … ¡infinito! La curva de Koch ocupa una región limitada del plano (=2), su dimensión fractal es =1.262, lo que significa que esta curva cubre una fracción mayor del plano que una línea recta caracterizada por =1. La isla de Koch es un ejemplo de un fractal no lagunar, i.e. es una estructura que no presenta huecos en su interior. El siguiente objeto fractal es un ejemplo de un fractal lagunar.

 

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Figura 2. Construcción de la isla de Koch. Objeto fractal no lagunar. Ilustración de las primeras 4 iteraciones de construcción. El área de este objeto está definida, pero su frontera es continua, cerrada, muy rugosa y de longitud infinita. Por sus características, por algún tiempo, este objeto fue considerado como un "monstruo matemático".

En la Figura 3 se representa la alfombra de Sierpinski, creada en 1916 por el matemático polaco Waclaw Sierpinski. Aquí el iniciador es un cuadrado de lado 1, que es dividido en nueve cuadrados de lado 1/3 y para terminar la iteración, se retira el cuadrado de en medio. Si este procedimiento se repite ad infinitum, se genera una estructura conocida como la alfombra de Sierpinski. Este objeto también posee atributos notables: (i) posee un perímetro de longitud infinita; (ii) es infinitamente rugoso, i.e. todos sus puntos son esquinas; (iii) posee lagunas de todos tamaños; (iv) es auto-semejante, i.e. si magnificamos parte de la curva, la porción magnificada parece mucho a la original; y (v) posee una dimensión fractal =1.8742, lo que significa que es una curva que llena casi todo el plano. Debido a su lagunaridad, versiones tridimensionales de este objeto han sido utilizadas para modelar rocas porosas como la mostrada en la Figura 4.

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Figura 3. Construcción de la alfombra de Sierpinsky. Ilustración de las primeras cuatro iteraciones. Otro "monstruo matemático". Observar la gran cantidad de lagunas, las hay de todos los tamaños. Además notar que la frontera de este objeto tiene longitud infinita. Todos los elementos del sistema forman parte de su frontera.

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Figura 4. Imagen de una roca porosa. La geometría de este sistema lagunar e irregular, puede ser descrita de manera elegante mediante cantidades propias de la geometría fractal.

La principal función de la dimensión fractal es proporcionar un lenguaje para la descripción de objetos irregulares. Además nos provee de un índice, que caracteriza la manera en que la estructura llena el espacio.

 

En la naturaleza, la geometría fractal es frecuentemente encontrada. Por ejemplo, las plantas la utilizan para crecer, con ello sólo requieren repetir y repetir un mínimo de información que puede ser eficientemente guardada en sus genes, y para maximizar el intercambio de materia y energía con el ambiente. ¿Qué forma tiene un brócoli? Su estructura es claramente fractal, su forma básica se repite en distintas escalas. En la Figura 5 podemos observar que la estructura del brócoli se va repitiendo a escalas progresivamente menores. Si tomamos un pedazo del brócoli, veremos que tiene la misma estructura que la pieza entera y una fracción de este pedazo también presentará la misma estructura. En resumen un brócoli está formado por un número determinado de brócolis más pequeñas. Es una forma de crecer muy efectiva. El organismo aumenta su tamaño de forma exponencial con instrucciones muy sencillas. Sólo hay que repetir la misma estructura. El cuerpo se propaga de manera continua y conexa con un número determinado de repeticiones. La fractalidad es el mayor patrón para crear frondosidad y esta frondosidad es frecuente en la naturaleza. Las plantas y los árboles son frondosas y fractales. Necesitan recibir el agua de la lluvia, el oxígeno del aire y la luz del sol. La estructura fractal es ideal para aprovechar al máximo el contacto con el exterior. No es de extrañar que la fractalidad se haya seleccionado como el mecanismo más efectivo para el crecimiento de las plantas.

 

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Figura 5. El brócoli presenta una estructura fractal, i.e. la estructura es sumamente detallada y se repite a diferentes escalas. Esta geometría posibilita el crecimiento de la planta con un mínimo de información genética y facilita el intercambio de materia y energía entre la planta y el ambiente.

Y los animales ¿también somos fractales? Evidentemente por fuera no somos fractales, la forma de nuestro cuerpo es adecuada para protegernos del exterior. Con los orificios de entrada y salida nos bastamos para intercambiar materiales e información con el entorno. En cambio por dentro, sí que lo somos. El cuerpo es una máquina que necesita mucho mantenimiento, los nutrientes tienen que llegar a cada una de las células y la estructura fractal es la más efectiva y la más económica para transportar sustancias por el interior. Las redes neuronales, los bronquios o los conductos biliares tienen una estructura fractal. Pero el más impresionante es el sistema circulatorio. Los vasos sanguíneos que van de la aorta hasta los capilares se ramifican y dividen. Llegan a todos los puntos suministrando sangre a todas las células. Y todo esto minimizando materiales y espacio. Los fractales en el interior de nuestro cuerpo y en los grandes sistemas de la naturaleza como los litorales o las montañas son los escenarios donde ocurren incontables procesos geológicos, biológicos, físicos y químicos que han determinado la evolución de la vida en nuestro planeta, y por ende nuestra existencia.

 

Un interesante video sobre geometría fractal se puede encontrar en:

http://www.youtube.com/watch?v=rKwg4CPLEMc&feature=related

Terminemos esta contribución con una reflexión de Benoît Mandelbrot: "¿Por qué a menudo se describe la geometría como algo "frío" y "seco"? Una de las razones es su incapacidad de describir la forma de una nube, una montaña, una costa o un árbol. Ni las nubes son esféricas, ni las montañas cónicas, ni las costas circulares, ni la corteza es suave, ni tampoco el rayo es rectilíneo."

 


Escrito por Armando Dominguez Ortiz

 

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